Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，OC=4，AO=2OC，且拋物線對稱軸為直線x=-3．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）己知矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F、G分別在AC、BC上，設(shè)OD=m，矩形DEFG的面積為S，當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點(diǎn)M，使，求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-4，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OC=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
∴c=4，則拋物線解析式為y=ax²+bx+4．
∵AO=2OC，則AO=8，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0）．
又∵拋物線對稱軸為直線x=-3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，O）．
∴，
解得．
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）∵矩形DEFG中FG∥ED，設(shè)FG與y軸交于點(diǎn)H，
∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
∴，即．
∴FH=4m，故FG=5m．
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b₁，則，
解得．
∴直線BC的解析式為y=-2x+4，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，-2m+4）
∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）²+10
∵0≤m≤2，
∴當(dāng)m=1時，S最大．此時OD=1，OE=4，∴DE=5．
過M作MM₁⊥x軸于M₁，則△MM₁D∽△FED，
∴
∵，
∴．則．
∴，DM₁=7，則OM₁=6．
∴此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

（3）存在．理由如下：
∵點(diǎn)Q在拋物線上，且橫坐標(biāo)為-4，
∴y_Q=6，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-4，6），
設(shè)P的坐標(biāo)為（0，n），在△BPQ中，
若∠BQP為直角，則PQ²+BQ²=BP²，
∴4²+（n-6）²+6²+（2+4）²=2²+n²，
解得n=10，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，10）．
若∠QBP為直角，則PQ²=BQ²+BP²，
∴4²+（6-n）²=6²+（2+4）²+2²+n²，
解得n=-2，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）．
若∠QPB為直角，則BQ²=BP²+PQ²，
∴6²+（2+4）²=4²+（n-6）²+2²+n²，
解得
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
（O，10）或（0，-2）或或．
分析：（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，則得出c=4．根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．然后把已知坐標(biāo)代入解析式求出函數(shù)表達(dá)式．
（2）證明△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB利用線段比求出FH，F(xiàn)G．然后設(shè)直線BC的解析為y=kx+b₁，求出解析式后可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，-2m+4），然后可求出S的函數(shù)解析式．做MN₁⊥x軸于M₁，證明△MM₁D∽△FED，利用線段比有關(guān)線段的值最后求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）依題意求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n）．在△BPQ中，分三種情況討論點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．利用待定系數(shù)法以及結(jié)合二次函數(shù)圖象求解，難度較大．