Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+ax+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當(dāng)△MNC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與線段AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．問(wèn)：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A、C的坐標(biāo)，即可由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．
（2）首先設(shè)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，即可表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得CN的長(zhǎng)，以CN為底，OM為高，可求得△MNC的面積，從而得到關(guān)于△NMC和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得△MNC的最大面積及對(duì)應(yīng)的M、N點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）欲求點(diǎn)P的坐標(biāo)，首先要求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，分三種情況：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜邊上的高，可據(jù)此求得F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②OF=FD，過(guò)F作x軸的垂線，設(shè)垂足為E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到AE的長(zhǎng)，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③OD=OF=1，由于O到直線AP的距離為

2

＞1，因此這種情況不成立．

解答：解：
（1）由題意，得

4a-2a+c=0 c=-2

，（1分）
解得

a=1 c=-2

；（2分）
∴所求拋物線的解析式為：y=x²+x-2．（3分）

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），則OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
則S_△MNC=

1

2

NC•OM
=

1

2

（2-2m）•m=-m²+m=-（m-

1

2

）²+

1

4

；（7分）
由x²+x-2=0，得x₁=-2，x₂=1；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．（8分）
則0＜m＜1，
∴當(dāng)m=

1

2

時(shí)，S_△MNC有最大值

1

4

，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-1）．（9分）

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，-1）；
由x²+x-1=-1，得x₁=

1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

；
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

1+ 5

2

，-1）或（

-1- 5

2

，-1）；（10分）
②若FO=FD，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E．
由等腰三角形△AEF中，F(xiàn)E=AE=

3

2

．
∴F（-

1

2

，-

3

2

）．
由x2+x-2=-

3

2

，得x1=

-1+ 3

2

，x2=

-1- 3

2

．
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(

-1+ 3

2

，-

3

2

)或(

-1- 3

2

，-

3

2

)．（11分）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2

2

．
∴點(diǎn)O到AC的距離為

2

，而OF=OD=1＜

2

，
此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(

-1+ 5

2

，-1)或(

-1- 5

2

，-1)或(

-1+ 3

2

，-

3

2

)或(

-1- 3

2

，-

3

2

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、等腰三角形的構(gòu)成條件、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．