Question

已知拋物線y=-x²+1的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點(diǎn)E，△PAD與△PEA相似嗎？（　�。�

• A、始終不相似
• B、始終相似
• C、只有AB=AD時(shí)相似
• D、無法確定

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到OP的長，再設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根據(jù)△PEF和△PDO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA²、PE、PD，從而得到

PA

PD

=

PE

PA

，再根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似解答．

解答：解：令x=0，則y=1，
∴OP=1，
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
則AD=-m²+1，
∵AB⊥y軸，AD⊥x軸，
∴AF=OD=m，OF=-m²+1，PF=1-（-m²+1）=m²，
在Rt△PAF中，PA²=PF²+AF²=（m²）²+m²=m⁴+m²，
在Rt△POD中，PD=

OP2+OD2

=

12+m2

=

1+m2

，
由AB∥x軸得，△PEF∽△PDO，
∴

PF

OP

=

PE

PD

，
即

m2

1

=

PE

1+m2

，
解得，PE=m²

1+m2

，
∴PA²=PD•PE=m⁴+m²，
∴

PA

PD

=

PE

PA

，
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD與△PEA始終相似．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，表示出兩個(gè)三角形的公共角的夾邊成比例是解題的關(guān)鍵．