Question

如圖，正多邊形A₁、A₂、A₃、A₄…An，曲線B₁B₂B₃B₄…B_n叫做“正多邊形的漸開線”，其中A_nB₁、B₁B₂、B₂B₃、B₃B₄…的圓心依次按A₁、A₂、A₃、A₄…循環(huán)．循環(huán)一周就叫一周曲線長，當(dāng)A₁A₂=1時(shí)，一周曲線長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：弧長的計(jì)算

專題：壓軸題,規(guī)律型

分析：觀察圖中可以發(fā)現(xiàn)曲線EFGHIJ的長度是由n個(gè)從小到大的扇形弧長組成的，所以利用弧長公式即可求出．

解答：解：正多邊形A₁A₂A₃A₄…A_n，的每個(gè)外角都等于

360°

n

，
∵A_nB₁、B₁B₂、B₂B₃、B₃B₄…的圓心依次按A₁、A₂、A₃、A₄…循環(huán)，當(dāng)A₁A₂=1時(shí)，
∴半徑依次為1、2、3、…，n，
∴一周曲線長=

360 n •π•1

180

+

360 n •π•2

180

+

360 n •π•3

180

+…+

360 n •π•n

180

=

2

n

（1+2+3+…+n）π=

2

n

•

n(n+1)

2

π=（n+1）π．
故答案為（n+1）π．

點(diǎn)評：本題考查了弧長的計(jì)算：弧長=

n•π•R

180

（n為弧所對的圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑）．也考查了正多邊形的性質(zhì)．