Question

如圖，已知∠MON=90°，A是∠MON內(nèi)部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E，F(xiàn)同時從O點出發(fā)，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．

（1）當t=1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由；

（2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA．為什么？

（3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得S_△AEF=S_{四邊形ABOF}？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）△EOF∽△ABO．理由見解析

（2）理由見解析

（3）存在，當t=或t=時，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．

【解析】（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴，，∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．

（2）在運動過程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB=∠EOF．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．

（3）如圖，連接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t，∴S_△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t²，S_△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S_梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6，∵S_△AEF=S_{四邊形ABOF}   ，∴S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF ，∴t²+6﹣t=（4t+6），即6t²﹣17t+12=0，解得t=或t=．

∴當t=或t=時，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．