Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+mx+2m-7的圖象經(jīng)過點（1，0）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）把-4＜x＜1時的函數(shù)圖象記為H，求此時函數(shù)y的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將圖象H在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象H的其余部分保持不變，得到一個新圖象M．若直線y=x+b與圖象M有三個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點（1，0）代入拋物線解析式，列出關(guān)于m的方程，通過解該方程可以求得m的值，從而得到拋物線的表達式；
（2）根據(jù)拋物線解析式求得對稱軸，所以由拋物線的對稱性和增減性進行解答；
（3）根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，由圖象直接回答問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+mx+2m-7的圖象經(jīng)過點（1，0），
∴1+m+2m-7=0，解得m=2．
∴拋物線的表達式為y=x²+2x-3；

（2）y=x²+2x-3=（x+1）²-4．
∵當(dāng)-4＜x＜-1時，y隨x增大而減�。�
當(dāng)-1≤x＜1時，y隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=-1，y_最小=-4．
當(dāng)x=-4時，y=5．
∴-4＜x＜1時，y的取值范圍是-4≤y＜5；

（3）y=x²+2x-3與x軸交于點（-3，0），（1，0）．
新圖象M如右圖紅色部分．
把拋物線y=x²+2x-3=（x+1）²-4的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=-（x+1）²+4（-3≤x≤1），

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過（-3，0）時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，此時b=3；
當(dāng)直線y=x+b與拋物線y=-（x+1）²+4（-3≤x≤1）相切時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，
即-（x+1）²+4=x+b有相等的實數(shù)解，整理得x²+3x+b-3=0，△=3²-4（b-3）=0，解得b=$\frac{21}{4}$．
結(jié)合圖象可得，直線y=x+b與圖象M有三個公共點，b的取值范圍是3＜b＜$\frac{21}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)M的圖象是解題的關(guān)鍵．