Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

(1)如圖1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，請(qǐng)?jiān)谶?I>CD上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)(點(diǎn)C和點(diǎn)D除外)(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

(2)矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接寫出邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

(3)如圖2，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，DM＝8cm，AN＝5cm．動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1 cm/s的速度向右移動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．

①當(dāng)t＝4時(shí)，求PH的長．

②探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)(直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)尺規(guī)作圖正確，痕跡清楚． 　　(以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn))(2分) 　　(2)4個(gè)．(4分) 　　(3)①當(dāng)t＝4時(shí)，PH＝或PH＝2或PH＝3．(7分) 　�、诋�(dāng)0≤t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)； 　　當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)； 　　當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)； 　　當(dāng)t＝5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)； 　　當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)； 　　當(dāng)t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)． 　　綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t＝5或t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)； 　　當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)； 　　當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)．(11分)