Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE，CD=，∠ACB=30°．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）分別求AB，OE的長；
（3）填空：如果以點E為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為1，則r的取值范圍為______．

Answer 1

（1）證明：連接BD、OD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=BC，
∴AD=CD．
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△CBD中，CD=，∠ACB=30°
∴BC==2，
∴BD=1，AB=2，
在Rt△CDE中，CD=，∠ACB=30°
∴DE=CD=，BC==2
∵OD是圓O半徑，
∴OD=1，
∴OE==．

（3）解：如圖，
當圓E的半徑為-1時，OG=1；
當圓E的半徑為+1時，OG=1，
故．
分析：（1）要證明DE是⊙O的切線，已知OD是圓的半徑，只要證明OD⊥DE即可．
（2）根據(jù)勾股定理可求得BC的長，從而可求得AB，DE的長，再根據(jù)勾股定理即可求得OE的長．
（3）由第二問可知OE的長，根據(jù)題意不難求得圓E的半徑r的取值范圍．
點評：此題主要考查學生對切線的判定及勾股定理等知識點的綜合運用能力．