Question

已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，QR是正六邊形內(nèi)平行于AB的任意線段，求以QR為底邊的內(nèi)接于正六邊形ABCDEF的△PQR的最大面積．

Answer 1

分析：要使△PQR的面積最大，P點(diǎn)應(yīng)在DE上；Q，R點(diǎn)應(yīng)分別在AF、BC上．過(guò)P點(diǎn)PH⊥QR于H，交AB于G，過(guò)A，B分別作AM⊥QR于M，BN⊥QR于．可設(shè)PH=x，再用含x的式子表示QR，根據(jù)平方的非負(fù)性，得出△PQR的最大面積．

解答：解：過(guò)P點(diǎn)PH⊥QR于H，交AB于G，過(guò)A，B分別作AM⊥QR于M，BN⊥QR于N．
設(shè)PH=x，則HG=

3

-x．
QM=NR=AM•tan30°=1-

3

3

x，
QR=2（1-

3

3

x）+1=3-

2

3

3

x，
△PQR的面積=

1

2

（3-

2

3

3

x）x=-

3

3

（x-

3 3

4

）²+

9 3

16

，
當(dāng)x=

3 3

4

，即當(dāng)Q，R分別在AF、BC的中點(diǎn)時(shí)，△PQR的最大面積為

9 3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，考查了三角形的面積，平方的非負(fù)性，三角函數(shù)等知識(shí)，有一定的難度．