Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（8，1），B（0，﹣3），反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點A，動直線x=t（0＜t＜8）與反比例函數的圖象交于點M，與直線AB交于點N．

（1）求k的值。
（2）求△BMN面積的最大值。
（3）若MA⊥AB，求t的值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（8，1）代入反比例函數y=（x＞0）得：

k=1×8=8，y=，

∴k=8

（2）

解：設直線AB的解析式為：y=kx+b，

根據題意得：，

解得：k=，b=﹣3，

∴直線AB的解析式為：y=x﹣3；

設M（t，），N（t，t﹣3），

則MN=﹣t+3，

∴△BMN的面積S=（﹣t+3）t=﹣t2+t+4=﹣（t﹣3）2+，

∴△BMN的面積S是t的二次函數，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，

當t=3時，△BMN的面積的最大值為

（3）

解：∵MA⊥AB，

∴設直線MA的解析式為：y=﹣2x+c，

把點A（8，1）代入得：c=17，

∴直線AM的解析式為：y=﹣2x+17，

解方程組得：或（舍去），

∴M的坐標為（，16），

∴t=

【解析】（1）把點A坐標代入y=（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直線AB的解析式，設M（t，），N（t，t﹣3），則MN=﹣t+3，由三角形的面積公式得出△BMN的面積是t的二次函數，即可得出面積的最大值；
（3）求出直線AM的解析式，由反比例函數解析式和直線AM的解析式組成方程組，解方程組求出M的坐標，即可得出結果．