Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程ax²+2（a-3）x+a+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a為非負(fù)整數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若拋物線y=ax²+2（a-3）x+a+3向下平移m（m＞0）個(gè)單位后過點(diǎn)（1，n）和點(diǎn)（2，2n+1），求m的值；
（3）若拋物線y=ax²+2（a-3）x+a+3+k上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意，得△=[2（a-3）]²-4a（a+3）=-36a+36≥0，
解得a≤1，
又a≠0且a為非負(fù)整數(shù)，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4．
（2）解法一：
拋物線y=x²-4x+4過點(diǎn)（1，1），（2，0），
向下平移m（m＞0）個(gè)單位后得到點(diǎn)（1，n）和點(diǎn)（2，2n+1）
∴，解得m=3．
解法二：
拋物線y=x²-4x+4向下平移m（m＞0）個(gè)單位后得：y=x²-4x+4-m，
將點(diǎn)（1，n）和點(diǎn)（2，2n+1）代入解析式得，
解得m=3．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），
∵P、Q在拋物線y=x²-4x+4+k上，將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得：，
將兩方程相加得：2x₀²+8+2k=0，
即x₀²+4+k=0，
∵△′=-4（4+k）≥0，
∴k≤-4，
當(dāng)k=-4時(shí)，P、Q兩點(diǎn)重合，不合題意舍去．
∴k＜-4．
分析：（1）根據(jù)根的判別式△＞0，根據(jù)一元二次方程成立的條件，知a≠0，求解即可；
（2）根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)得到新點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件列方程組解答；
（3）根據(jù)中心對稱的定義，設(shè)出兩個(gè)中心對稱點(diǎn)，代入解析式列出方程組，再結(jié)合根的判別式解答．
點(diǎn)評：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和根的判別式，綜合性很強(qiáng)，同時(shí)要利用方程組進(jìn)行解答．解答時(shí)要體會方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)．