【題目】已知△.
(1)在圖中用直尺和圓規(guī)作出的平分線和邊的垂直平分線交于點(保留作圖痕跡,不寫作法).
(2)在(1)的條件下,若點、分別是邊和上的點,且,連接求證:;
(3)如圖,在(1)的條件下,點、分別是、邊上的點,且△的周長等于邊的長,試探究與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)與的數(shù)量關(guān)系是,理由見解析.
【解析】
(1)利用基本作圖作∠ABC的平分線;利用基本作圖作BC的垂直平分線,即可完成;
(2)如圖,設(shè)BC的垂直平分線交BC于G,作OH⊥AB于H,
用角平分線的性質(zhì)證明OH=OG,BH=BG,繼而證明EH =DG,然后可證明,于是可得到OE=OD;
(3)作OH⊥AB于H,OG⊥CB于G,在CB上取CD=BE,利用(2)得到 CD=BE,,OE=OD,,,可證明,故有,由△的周長=BC可得到DF=EF,于是可證明,所以有,然后可得到與的數(shù)量關(guān)系.
解:(1)如圖,就是所要求作的圖形;
(2)如圖,設(shè)BC的垂直平分線交BC于G,作OH⊥AB于H,
∵BO平分∠ABC,OH⊥AB,OG垂直平分BC,
∴OH=OG,CG=BG,
∵OB=OB,
∴,
∴BH=BG,
∵BE=CD,
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG,
在和中,
,
∴,
∴OE=OD.
(3)與的數(shù)量關(guān)系是,理由如下;
如圖,作OH⊥AB于H,OG⊥CB于G,在CB上取CD=BE,
由(2)可知,因為 CD=BE,所以且OE=OD,
∴,,
∴,
∴,
∵△的周長=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC
∴DF=EF,
在△和△中,
,
∴,
∴,
∴,
∴.
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【題目】如圖,己知,任取一點,連,,,并取它們的中點,,,得,則下列說法正確的個數(shù)是( )
①與是位似圖形;②與是相似圖形;
③與的周長比為;④與的面積比為.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】操作:小明準(zhǔn)備制作棱長為1cm的正方體紙盒,現(xiàn)選用一些廢棄的圓形紙片進(jìn)行如下設(shè)計:
說明:方案一:圖形中的圓過點A、B、C;
方案二:直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合,斜邊經(jīng)過兩個正方形的頂點.
紙片利用率=×100%
發(fā)現(xiàn):(1)方案一中的點A、B恰好為該圓一直徑的兩個端點.
你認(rèn)為小明的這個發(fā)現(xiàn)是否正確,請說明理由.
(2)小明通過計算,發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率僅約為38.2%.
請幫忙計算方案二的利用率,并寫出求解過程.
探究:
(3)小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低,又進(jìn)行了新的設(shè)計(方案三),請直接寫出方案三的利用率.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,AC和BD相交于點E,且DC2=CECA.
(1)求證:BC=CD;
(2)分別延長AB,DC交于點P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC=5,AB=4,CD=12,AD=13,∠B=90°.
(1)求BC邊的長;
(2)求四邊形ABCD的面積.
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【題目】某超市每天都用360元從批發(fā)商城批發(fā)甲乙兩種型號“垃圾分類”垃圾桶進(jìn)行零售,批發(fā)價和零售價如下表所示:
批發(fā)價(元個) | 零售價(元/個) | |
甲型號垃圾桶 | 12 | 16 |
乙型號垃圾桶 | 30 | 36 |
若設(shè)該超市每天批發(fā)甲型號“垃圾分類”垃圾桶x個,乙型號“垃圾分類”垃圾桶y個,
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若某天該超市老板想將兩種型號的“垃圾分類”垃圾桶全部售完后,所獲利潤率不低于30%,則該超市至少批發(fā)甲型號“垃圾分類”垃圾桶多少個?(利潤率=利潤/成本).
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【題目】結(jié)論:直角三角形中,的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.
如圖①,我們用幾何語言表示如下:
∵在中,,,
∴.
你可以利用以上這一結(jié)論解決以下問題:
如圖②,在中,,,,,
(1)求的面積;
(2)如圖③,射線平分,點從點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿著射線的方向運動,過點分別作于,于,于.設(shè)點的運動時間為秒,當(dāng)時,求的值.
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【題目】已知,是內(nèi)的一點.
(1)如圖,平分交于點,點在線段上(點不與點、重合),且,求證:.
(2)如圖,若是等邊三角形,,,以為邊作等邊,連.當(dāng)是等腰三角形時,試求出的度數(shù).
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【題目】如圖,在⊙O中,AB是⊙O的直徑,點D是⊙O上一點,點C是弧AD的中點,弦CE⊥AB于點F,過點D的切線交EC的延長線于點G,連接AD,分別交CF、BC于點P、Q,連接AC.給出下列結(jié)論:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點P是△ACQ的外心;④APAD=CQCB.其中正確的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
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