Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，其中點A，C的坐標分別為（1，0），（﹣4，0），拋物線的頂點為點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點（不與A，B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當線段FE的長度最大時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A，C的坐標分別為（1，0），（﹣4，0），

∴AC=5．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，

∴BC=AC=5．

∴B（﹣4，﹣5）．

將點A和點B的坐標代入得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

（2）解：如圖1所示：

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點A和點B的坐標代入得： ，解得：k=1，b=﹣1．

所以直線AB的解析式為y=x﹣1．

設(shè)點E的坐標為（t，t﹣1），則點F的坐標為（t，﹣t2﹣2t+3）．

∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣（t﹣1）=﹣t2﹣3t+4=（t+ ）2+ ．

∴當t=﹣ 時，F(xiàn)E取最大值 ，此時，點E的坐標為（﹣ ，﹣ ）．

（3）解：存在點P，能使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形．

理由：如圖所示：過點F作直線a⊥EF，交拋物線于點P，過點E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″．

由（2）可知點E的坐標為（t，t﹣1），則點F的坐標為（t，﹣t2﹣2t+3），t=﹣ ，

∴點E（﹣ ，﹣ ）、F（﹣ ， ）．

①當﹣t2﹣2t+3= 時，解得：x=﹣ 或x=﹣ （舍去）．

∴點P的坐標為（﹣ ， ）．

②當﹣t2﹣2t+3=﹣ 時，解得：x=﹣1+ 或x=﹣1﹣ ．

∴點P′（﹣1﹣ ，﹣ ），P″（﹣1+ ，﹣ ）．

綜上所述，點P的坐標為（﹣ ， ）或（﹣1﹣ ，﹣ ）或P″（﹣1+ ，﹣ ）．

【解析】（1）要求解析式關(guān)鍵在于求B點坐標，由△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，BC=AC=5．可求出B（﹣4，﹣5），把A、B坐標代入解析式即可；（2）求最值問題可化歸為函數(shù)最值問題，因此須構(gòu)建以E點橫坐標t為自變量、EF長度為因變量的函數(shù)，用t的代數(shù)式表示EF，EF是豎直線段，其長度可用上端點縱坐標減下端點縱坐標，構(gòu)建函數(shù)后，若是二次函數(shù)可用配方法求出最值；（3）以EF為直角邊的直角三角形可分為兩類：以E為直角頂點；以F為直角頂點；因此須過E、F分別作EF的垂線 與拋物線的交點就是P點.