【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3x軸相交于點(diǎn)A﹣1,0)、B30),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)(不與O、B重合),過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)Dy軸正半軸上,OD=2,連接DE、OF

1)求拋物線的解析式;

2)當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)過點(diǎn)A的直線將(2)中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分,求這條直線的解析式.(不必說明平分平行四邊形面積的理由)

【答案】1y=﹣x2+2x+321,0)或(2,0).3y=x+y=x+

【解析】

試題分析:1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

2)平行四邊形的對(duì)邊相等,因此EF=OD=2,據(jù)此列方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)本問利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求解.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(或?qū)蔷的中點(diǎn)),過對(duì)稱中心的直線平分平行四邊形的面積,因此過點(diǎn)AODEF對(duì)稱中心的直線平分ODEF的面積.

解:(1點(diǎn)A﹣1,0)、B3,0)在拋物線y=ax2+bx+3上,

解得a=﹣1,b=2

拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3

2)在拋物線解析式y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,

C0,3).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將B3,0),C0,3)坐標(biāo)代入得:

,

解得k=﹣1,b=3,

y=﹣x+3

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x2+2x+3),則Px,0),Fx,﹣x+3),

EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣﹣x+3=﹣x2+3x

四邊形ODEF是平行四邊形,

EF=OD=2,

﹣x2+3x=2,即x2﹣3x+2=0,

解得x=1x=2,

P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(20).

3)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(或?qū)蔷的中點(diǎn)),過對(duì)稱中心的直線平分平行四邊形的面積,因此過點(diǎn)AODEF對(duì)稱中心的直線平分ODEF的面積.

當(dāng)P10)時(shí),

點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,2),又D0,2),

設(shè)對(duì)角線DF的中點(diǎn)為G,則G,2).

設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b,將A﹣1,0),G,2)坐標(biāo)代入得:

解得k=b=,

所求直線的解析式為:y=x+;

當(dāng)P,0)時(shí),

點(diǎn)F坐標(biāo)為(21),又D02),

設(shè)對(duì)角線DF的中點(diǎn)為G,則G1,).

設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b,將A﹣1,0),G1,)坐標(biāo)代入得:

,

解得k=b=,

所求直線的解析式為:y=x+

綜上所述,所求直線的解析式為:y=x+y=x+

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