Question

國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，某企業(yè)生產(chǎn)的一種環(huán)保設(shè)備供不應求．若該企業(yè)的這種環(huán)保設(shè)備每年的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套設(shè)備的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套設(shè)備的售價不低于90萬元．已知這種設(shè)備的年產(chǎn)量x（套）與每套的售價y₁（萬元）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)₁=170-2x，年產(chǎn)量x（套）與生產(chǎn)總成本y₂（萬元）存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系．另外企業(yè)每年其它的總支出為700萬元．
（1）直接寫出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求年產(chǎn)量x的范圍；
（3）當年產(chǎn)量x（套）為多少時，這種設(shè)備的年利潤W（萬元）最大？最大利潤是多少？
（4）該企業(yè)希望這種設(shè)備的年利潤不低于1218萬元，請你利用（3）小題中的函數(shù)圖象幫助該企業(yè)確定這種設(shè)備的銷售單價的范圍．在此條件下要使設(shè)備的生產(chǎn)成本最低，你認為銷售單價應定為多少萬元比較合適？

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根據(jù)題中條件“每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元”列出不等式組求解年產(chǎn)量x的范圍；
（3）根據(jù)等量關(guān)系“設(shè)備的利潤=每臺的售價×月產(chǎn)量-生產(chǎn)總成本-其它的總支出”列出函數(shù)關(guān)系式求得最大值．

解答：解：（1）設(shè)y₂=kx+b，由題意得：

30k+b=1400 40k+b=1700

，
解得：

k=30 b=500

，
即y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₂=30x+500；

（2）依題意得：

500+30x≤50x 170-2x≥90

，
解得：25≤x≤40；

（3）∵W=x•y₁-y₂-700=x（170-2x）-（500+30x）-700=-2x²+140x-1200=-2（x-35）²+1250
∵25＜35＜40，
∴當x=35時，W_最大=1250萬元，
即年產(chǎn)量為35套時，年利潤最大，最大利潤為1250萬元．

（4）令W=1218，得-2（x-35）²+1250=1218，
解得：x₁=31，x₂=39，
通過（3）中的函數(shù)可知，要使這種產(chǎn)品一年的銷售利潤不低于1218萬元，年銷售量要在31套到39套之間，銷售單價在92萬到108萬之間．
銷售單價定為108萬元比較合適．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，難點在第二問，要求我們熟練運用配方法求二次函數(shù)的最值，另外要結(jié)合實際，考慮是否能取到最小．