Question

已知拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），且與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0）B（b，0），若點(diǎn)P為該拋物線的頂點(diǎn)，求使△PAB面積最小時(shí)拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題

分析：A、B兩點(diǎn)在x軸上，用|AB|=|a-b|表示線段AB的長，由兩根關(guān)系轉(zhuǎn)化為m、n的表達(dá)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得P（-

m

2

，

4n-m2

4

），故有S_△APB=

1

2

|AB|•|

4n-m2

4

|，將點(diǎn)（2，-1）代入解析式得4+2m+n=-1，即n=-2m-5，轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的二次函數(shù)，求面積最小時(shí)m、n的值．

解答：解：由題意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5，
∵A（a，0）、B（b，0）兩點(diǎn)在拋物線y=x²+mx+n上，
∴a+b=-m，ab=n，
又∵|AB|=|a-b|=x²+mx+n經(jīng)過（2，-1），代入得，n=-2m-5，
∴|AB|=

m2+8m+20

，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-

1

4

m2-2m-5，
S△PAB=

1

4

(m2+8m+20)3

=

1

4

[(m+4)2+4]3

，
可見，當(dāng)m=-4時(shí)S_△PAB最小，
解析式為y=x²-4x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積問題，將原題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題是解答的基本思路．