Question

如圖，在Rt△ABC中，AB是斜邊，點(diǎn)P在中線(xiàn)CD上，AC=3cm，BC=4cm，設(shè)P、C的距離為xcm，△APB的面積為ycm²，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB交AB于H，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥AB交AB于M，求證△ACB∽△AMC，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例求得CM的長(zhǎng)，再利用CM∥BH，求出PH，代入即可．
解答：解：在Rt△ABC中，AB===5，
∵AD=BD，∴CD=AB=，
∵PC的長(zhǎng)為x，∴PD=-x，
過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB交AB于H，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥AB交AB于M，
∵△ACB∽△AMC
∴=，∴CM==，
∵CM⊥AB，PH⊥AB，∴CM∥BH，
∴=，∴PH===-x．
S_△APB=y=AB•BH=×5×（-x），
∴y=-x+6，
∴0＜x＜．
答：y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+6，
自變量x的取值范圍為0＜x＜．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)關(guān)系式、勾股定理和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．解答此題的關(guān)鍵是過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB交AB于H，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥AB交AB于M，求證△ACB∽△AMC．