Question

【題目】直線y＝mx(m為常數(shù))與雙曲線y＝(k為常數(shù))相交于A、B兩點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣4

①直接寫出：k＝____，m＝____；

②點(diǎn)C在第一象限內(nèi)是雙曲線y＝的點(diǎn)，當(dāng)S△OAC＝9時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)將直線y＝mx向右平移得到直線y＝mx+b，交雙曲線y＝于點(diǎn)E(4，y1)和F(﹣2，y2)，直接寫出不等式mx2+bx＜k的解集：_____．

Answer 1

【答案】(1)①12，；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，2)或(，8)；(2)﹣2＜x＜4．

【解析】

（1）①根據(jù)正比例函數(shù)與雙曲線的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得出A（3，4），B（-3，-4），進(jìn)而得出k=3×4=12，m=；

②如圖，過A點(diǎn)作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作CN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)C（x，），x＞0．利用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出S△ONC=S△OAM，再推出S△OAC=S梯形AMNC=9，根據(jù)梯形的面積公式列式計(jì)算即可；

（2）由雙曲線y=過點(diǎn)E（4，y1）和F（-2，y2），得出E（4，），F（-2，-），將E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=mx+b，得到，解得，進(jìn)而解不等式mx2+bx＜k即可．

(1) ①∵直線y=mx（m為常數(shù)）與雙曲線y=（k為常數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-4，

∴A（3，4），B（-3，-4），

∴k=3×4=12，m=；

②如圖，過A點(diǎn)作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作CN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)C(x，)，x＞0．

∵S△OAC+S△ONC＝S梯形AMNC+S△OAM，S△ONC＝S△OAM，

∴S△OAC＝S梯形AMNC＝9，

∴S梯形AMNC＝(AM+CN)MN＝(4+)|x﹣3|＝9，

當(dāng)x＞3時(shí)，化簡整理方程，得2x2﹣9x﹣18＝0，解得x1＝6，x2＝﹣(舍去)，此時(shí)C

(6，2)；

當(dāng)x＜3時(shí)，化簡整理方程，得2x2+9x﹣18＝0，解得x1＝﹣6(舍去)，x2＝，此時(shí)C(，8)；

綜上所述，所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，2)或(，8)；

(2) 將直線y=mx向右平移得到直線y=mx+b．

∵雙曲線y=過點(diǎn)E（4，y1）和F（-2，y2），

∴E（4，），F（-2，-），

∵直線y=mx+b過點(diǎn)E、F，

∴，解得，

∴不等式mx2+bx＜k即為kx2-kx＜k，

∵k≠0，

∴x2-2x＜8，

∴x2-2x-8＜0，

∴-2＜x＜4．

故答案為：﹣2＜x＜4．