Question

如圖所示，已知△ABC，以BC為直徑的圓交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接OE、OD，△ADE的外接圓是⊙G，求證：OD、OE都是⊙G的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：連結(jié)GD、GE、BE、CD，如圖，根據(jù)圓周角定理由BC為直徑得∠BEC=90°，則∠5+∠A=90°，由腰三角形的性質(zhì)得∠2=∠GDE，由圓周角定理得∠DGE=2∠A，所以∠2=

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（180°-2∠A）=90°-∠A，則∠2=∠5，由于∠3=∠6，∠4=∠OBE，且∠OBE+∠5+∠6=90°，則∠4+∠2+∠3=90°，即OE⊥GE，同理可得OD⊥DG，則可根據(jù)切線的判定定理得到OD、OE都是⊙G的切線．

解答：證明：連結(jié)GD、GE、BE、CD，如圖，
∵BC為直徑，
∴∠BEC=90°，
∴∠5+∠A=90°，
∵GD=GE，
∴∠2=∠GDE，
而∠DGE=2∠A，
∴∠2=

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（180°-2∠A）=90°-∠A，
∴∠2=∠5，
∵∠3=∠6，∠4=∠OBE，
而∠OBE+∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠2+∠3=90°，
∴OE⊥GE，
同理可得OD⊥DG，
∴OD、OE都是⊙G的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．