Question

如圖已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求解下列問(wèn)題：
（1）求拋物線的解析式和D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥y軸，交直線BC于點(diǎn)F，求線段DF的長(zhǎng)，并求△BCD的面積；
（3）能否在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？若能找到，試寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)A，B的坐標(biāo)，用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)出拋物線的解析式，進(jìn)而可得出D的坐標(biāo)；
（2）將B點(diǎn)代入，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)（1，2），進(jìn)而得出DF的長(zhǎng)，以及△BCD的面積；
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)∠BDQ=90°時(shí)，此時(shí)DQ是圓G的切線，設(shè)DQ交y軸于M，那么可通過(guò)求直線DM的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)∠DBQ=90°時(shí)，可過(guò)Q作x軸的垂線，設(shè)垂足為P，先設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形DHB和BPQ得出的關(guān)于DH，BP，BH，PQ的比例關(guān)系式，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
③當(dāng)∠BQD=90°時(shí)，顯然此時(shí)Q，C重合，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)即為C點(diǎn)的坐標(biāo)．綜上所述可得出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（0，3）代入，
解得a=-1，
解析式為y=-x²+2x+3，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把B（3，0）代入，
解得k=-1，所以F（1，2），
∴DF=4-2=2，
△BCD的面積=

1

2

×2×1+

1

2

×2×2=3；

（3）①點(diǎn)C即在拋物線上，CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

．
∵CD²+BC²=20，BD²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
∴∠BCD=90°，
這時(shí)Q與C點(diǎn)重合點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（0，3），
②如圖②，若∠DBQ為90°，作QP⊥x軸于P，DH⊥x軸于H
可證Rt△DHB∽R(shí)t△BPQ，
有

DH

BP

=

HB

PQ

，
則點(diǎn)Q坐標(biāo)（k，-k²+2k+3），
即

4

3-k

=

2

k2-2k-3

，
化簡(jiǎn)為2k²-3k-9=0，
即（k-3）（2k+3）=0，
解之為k=3或k=-

3

2

，
由k=-

3

2

得Q坐標(biāo)：Q(-

3

2

，-

9

4

)，
③若∠BDQ為90°，
如圖③，延長(zhǎng)DQ交y軸于M，
作DE⊥y軸于E，DH⊥x軸于H，
可證明△DEM∽△DHB，
即

DE

DH

=

EM

HB

，
則

1

4

=

EM

2

，
得EM=

1

2

，
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，

7

2

)，DM所在的直線方程為y=

1

2

x+

7

2

，
則y=

1

2

x+

7

2

與y=-x²+2x+3的解為x=

1

2

，
得交點(diǎn)坐標(biāo)Q為(

1

2

，

15

4

)，
即滿(mǎn)足題意的Q點(diǎn)有三個(gè)，（0，3），（-

3

2

，-

9

4

），（

1

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和應(yīng)用、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．