Question

如圖已知拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關(guān)于y軸對(duì)稱，并與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，試猜想出一般形式y(tǒng)=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱的二次函數(shù)解析式（不要求證明）；
（2）若AB中點(diǎn)是C，求sin∠CMB；
（3）如果一次函數(shù)y=kx+b過(guò)點(diǎn)M，且于y=mx²+nx+p相交于另一點(diǎn)N（i，j），如果i≠j，且i²-i+z=0和j²-j+z=0，求k的值．

Answer 1

解：（1）拋物線的解析式是y=x²-6x+5，y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱的二次函數(shù)解析式為：y=ax²-bx+c．

（2）當(dāng)y=0時(shí)x²-6x+5=0x₁=1x₂=5所以A（1，0）B（5，0）C是AB的中點(diǎn)所以C（3，0）又因?yàn)镺B=OM=5?△OMB是等腰△過(guò)0作OE⊥MB?OE∥CD因?yàn)椤螮OB=45度，所以∠DCB=45度?CD=Rt△OMC中OM=5，OC=3所以MC==，
∴sin．

（3），即，
又因?yàn)镹在y=kx+b上
又∵j=ki+bM在y=kx+b上，
∴b=5，
∴j=ki+5?1-i=ki+5?k=-1-，
又∵N在y=x²-6x+5上，
所以，
即，即．
分析：（1）拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關(guān)于y軸對(duì)稱，知關(guān)于y軸對(duì)稱x變?yōu)?x，y軸值不變，所以易得y=x²+6（-x）+5，即對(duì)稱后的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，關(guān)于y軸對(duì)稱只要把x變?yōu)?x就可以了；
（2）作輔助線過(guò)0作OE⊥MB，把∠CMB轉(zhuǎn)化到直角三角形中計(jì)算，就行了；
（3）根據(jù)已知關(guān)系解方程組得b值，最后待定系數(shù)求出k的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)圖象對(duì)稱問(wèn)題和函數(shù)性質(zhì)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把角放到直角三角形里解，點(diǎn)在函數(shù)上用待定系數(shù)求出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出k值，方法簡(jiǎn)單，過(guò)程較復(fù)雜．