Question

設(shè)a，b，c為互不相等的非零實(shí)數(shù)，求證：方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0不可能都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

證明：假設(shè)題中的三個(gè)方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)這三個(gè)方程的根的判別式為△₁，△₂，△₃，
則有．
由①+②+③得：a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，
有2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，
∴a=b=c，這與已知a，b，c為互不相等的非零實(shí)數(shù)矛盾，
故題中的三個(gè)方程不可能都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
分析：用反證法求解；先設(shè)三個(gè)方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則三個(gè)方程的△=0，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出與已知互相矛盾，從而證明原結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：考查根的判別式，學(xué)習(xí)反證法的應(yīng)用．