【題目】如圖,在RtABC中,∠C90°AC12cm,BC24cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C2cm/s的速度移動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B4cm/s的速度移動(dòng).如果P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

(1)經(jīng)過幾秒,△PCQ的面積為32cm2?

(2)若設(shè)△PCQ的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,請(qǐng)寫出當(dāng)t為何值時(shí),S最大,并求出最大值;

(3)當(dāng)t為何值時(shí),以P,CQ為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

【答案】(1) 2秒或4秒;(2) t=3時(shí),S的最大值為36cm2;(3) t=3或1.2.

【解析】

1)根據(jù)三角形的面積公式列出方程,解方程得到答案;
2)根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答;
3)分PCQ∽△ACBPCQ∽△BCA兩種情況,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

解:(1)設(shè)經(jīng)過x秒,PCQ的面積為32cm2

由題意得,PC122t,CQ4t,

(122t)×4t32

解得:x12,x24

答:經(jīng)過2秒或4秒,PCQ的面積為32cm2;

(2)∵出發(fā)時(shí)間為t,點(diǎn)P的速度為2cm/s,點(diǎn)Q的速度為4cm/s,

PC122t,CQ4t

SPCCQ(122t)×4t=﹣4t2+24t,

S=﹣4t2+24t=﹣4(t3)2+36

t3時(shí),S的最大值為36cm2;

(3)當(dāng)PCQ∽△ACB時(shí),

,即,=

解得,t3

當(dāng)PCQ∽△BCA時(shí),

,即,=

解得,t1.2,

綜上所述,當(dāng)t31.2時(shí),以P,CQ為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.

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2)若甲工程隊(duì)獨(dú)做a天后,再由甲、乙兩工程隊(duì)合作 天(用含a的代數(shù)式表示)可完成此項(xiàng)工程;

3)如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)1萬元,乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)2.5萬元,甲工程隊(duì)至少要單獨(dú)施工多少天后,再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工完成剩下的工程,才能使施工費(fèi)不超過64萬元?

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