Question

5．如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，在BC邊上取一點(diǎn)E，使BE=4，連結(jié)AE，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCF的位置，拼成四邊形AEFD．
（1）求證：四邊形AEFD是菱形；
（2）求四邊形AEFD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AE∥DF，AE=DF，則由此判定四邊形AEFD是平行四邊形；然后由“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答 （1）證明：由平移的性質(zhì)得：AE∥DF，AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠DCE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5=AD，
∴四邊形AEFD是菱形
（2）解：連結(jié)DE、AF，如圖所示：
在直角△ABF中，BF=BE+EF=4+5=9，
由勾股定理得到：AF=$\sqrt{A{B}^{2}{+BF}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
在直角△DCE中，CE=BC-BE=5-4=1，
由勾股定理得到：DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、圖形的剪拼以及平移的性質(zhì)、勾股定理．熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，由勾股定理得出AE是解決問題的關(guān)鍵．