Question

已知：直線y=

1

2

x+2與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AE上一動點(diǎn)，當(dāng)△PBC周長最小時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）動點(diǎn)Q在x軸上移動，當(dāng)△QAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到C點(diǎn)的距離與到直線AD的距離恰好相等？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直線y=

1

2

x+2與y軸交于A，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用B點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
（2）求出點(diǎn)C關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求出直線BF的解析式后求與直線AE的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出AP、EP的長，求出AE的長，利用勾股定理得到有關(guān)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得其橫坐標(biāo)即可；
（4）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用C點(diǎn)的距離與到直線AD的距離恰好相等，得到有關(guān)M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的方程解得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x+2與y軸交于A，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）．
∴

c=2 1 2 +b+c=0

∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；

（2）作出C關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)F，由B和F確定出直線BF，與直線AE交于P點(diǎn)，
利用△DFC面積得出F點(diǎn)縱坐標(biāo)為：

16

5

，
∴利用勾股定理得出

2

5

，
∴F（

4

5

，

32

5

），
∴直線BF的解析式為：y=-32x+32，
，
可得：P（

12

13

，

32

13

）；

（3）根據(jù)題意得：

1

2

x+2=

1

2

x²-

5

2

x+2，
解得：x=0或x=6，
∴A（0，2），E（6，5），
∴AE=3

5

，
設(shè)Q（x，0），
①若Q為直角頂點(diǎn)，
則AQ²+EQ²=AE²，
即x²+4+（x-6）²+25=45，
此時(shí)x無解；
②若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，
則AQ²+AE²=EQ²，
即x²+4+45=（x-6）²+25，
解得：x=1，
即Q（1，0）；
③若E為直角頂點(diǎn)，
則AQ²=AE²+EQ²，
即x²+4=45+（x-6）²+25，
解得：x=

51

6

=

17

2

，
此時(shí)求得Q（

17

2

，0）；
∴Q（1，0）或（

17

2

，0）

（4）假設(shè)存在，設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），則OM=|m|，
此時(shí)MD⊥AD，
∵OC=4，AO=2，OD=4，
∴在直角三角形AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD=2

5

，且AM=2-m，CM=

m2+16

，
∵M(jìn)D=MC，
∴根據(jù)勾股定理得：

AM2-AD2

=

OC2+OM2

，
即（2-m）²-（2

5

）²=m²+16，
解得m=-8，
則M（0，-8）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)綜合知識，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用過程．