已知點D為等腰△ABC的底邊BC的中點，P為AB線段內(nèi)部的任意一點，設(shè)BP的垂直平分線與直線AD交于點E，PC與AD交于點F．求證：直線EP是△APF的外接圓的切線．
【答案】分析：首先根據(jù)題意畫出圖，利用垂直平分線的性質(zhì)，不難證以E為圓心、EB為半徑作圓，則點P、C都在以E為圓心、EB為半徑的圓周上．運用直角三角形的兩直角邊所對的角互余、弦所對的圓周角是所對的圓心角的一半，可得∠PAE=90°-∠ABC=90°-∠PEC．在等腰三角形EPC中，不難證明，∠EPC=90°-∠PEC．再利用切線的判定定理，可得EP是△APF的外接圓的切線．
解答：證明：∵DG垂直平分BP，
∴EP=BE，
∵AD是等腰三角形ABC底邊上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴以E為圓心、EB為半徑作圓E，則點P、C都在該圓的圓周上，
∴在Rt△ABD中，∠PAE=∠BAE=90°-∠ABC=90°-∠PEC=∠EPC，
∵在等腰三角形EPC中，∠EPC=90°-∠PEC，
∴∠PAE=∠EPC，
∴EP是△APF的外接圓的切線．
點評：本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形外接圓與外心、切線的判定，解決本題的關(guān)鍵是靈活利用周邊的點與線段，構(gòu)想內(nèi)切圓與外接圓．
練習(xí)冊系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點D為等腰△ABC的底邊BC的中點，P為AB線段內(nèi)部的任意一點，設(shè)BP的垂直平分線與直線AD交于點E，PC與AD交于點F．求證：直線EP是△APF的外接圓的切線．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），AB⊥x軸，垂足為點B，連接OA，拋物精英家教網(wǎng)線y=x2從點O沿OA方向平移，與直線AB交于點P，拋物線的頂點M到A點時停止移動．
（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點M的橫坐標為m，
①用m的代數(shù)式表示點P的坐標；
②當(dāng)m為何值時，線段PB最短；并求出此時拋物線的解析式．
（3）在②前提下，在直線AB上是否存在點N，使△PMN是等腰三角形？若存在，直接寫出滿足條件的N點坐標；
（4）探究：當(dāng)線段PB最短時，在相應(yīng)的拋物線上是否存在點Q（與P不重合），使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，直接寫出滿足條件的點Q的坐標．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C點的坐標；
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（2）如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當(dāng)P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP-DE的值；
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（3）如圖3，已知點F坐標為（-2，-2），當(dāng)G在y軸的負半軸上沿負方向運動時，作Rt△FGH，始終保持∠GFH=90°，F(xiàn)G與y軸負半軸交于點G（0，m），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點H（n，0），當(dāng)G點在y軸的負半軸上沿負方向運動時，以下兩個結(jié)論：①m-n為定值；②m+n為定值，其中只有一個結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點D為等腰△ABC的底邊BC的中點，P為AB線段內(nèi)部的任意一點，設(shè)BP的垂直平分線與直線AD交于點E，PC與AD交于點F．求證：直線EP是△APF的外接圓的切線．

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