Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)上．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)．垂足為F，連接EF，當(dāng)線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)A的坐標(biāo)，即可求得OA的長(zhǎng)，則B、C的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，和C的直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)OA=OC，即可列方程求解；
（3）據(jù)垂線(xiàn)段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)，則DF=

1

2

OC，即可求得P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式是y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得：

a=-1 b=3 c=4

，
則拋物線(xiàn)的解析式是：y=-x²+3x+4；

（2）存在．
第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP₁⊥AC，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P₁．過(guò)點(diǎn)P₁作y軸的垂線(xiàn)，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
設(shè)P（m，-m²+3m+4），
則m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)A作AP₂，AC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P₂，過(guò)點(diǎn)P₂作y軸的垂線(xiàn)，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F．
∴P₂N∥x軸，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
設(shè)P₂（n，-n²+3n+4），
則n=（-n²+3n+4）+4，
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
則P₂的坐標(biāo)是（-2，-6）．
綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（-2，-6）；

（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．
根據(jù)垂線(xiàn)段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)．
又∵DF∥OC，
∴DF=

1

2

OC=2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2．
則-x²+3x+4=2，
解得：x=

3± 17

2

，
∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．