Question

（10分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB．

1.（1）試說明：PB是⊙O的切線；

2.（2）已知⊙O的半徑為，AB＝2，求PA的長．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）連接OB，OP,交AB于點D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圓，

∴AC是⊙O的直徑．……1分

又∵PA與⊙O相切，∴∠OAP＝90°……2分

∵OA＝OB，PA＝PB，OP＝OP

∴△OAP≌△OBP……4分

∴∠OBP＝∠OAP＝90°，即OB⊥BP.

又∵點B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線. ……5分

2.(2) ∵∠ABC＝∠OBP ＝90°, ∴∠OBC＝∠ABP

又∵OC＝OB，PA＝PB, ∴∠OCB＝∠OBC＝∠ABP＝∠BAP∴△OCP∽△PAB……6分

∴  即……7分

而在Rt△ABC中, AB＝2,AC＝2∴BC＝2……8分

∴PA＝……9分

【解析】略