Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=1，O為AC的中點，OE⊥OD交AB于點E．若AE=

3

4

，則DO的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：求出△DAO≌△EBO，推出OD=OE，AD=BE，求出AD=BE=

1

4

，由勾股定理得出DE²=DO²+OE²=AD²+AE²，求出即可．

解答：解：∵∠ABC=90°，O為AC的中點，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠ABO=45°，AO=BO=CO，∠AOB=90°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE=∠AOB=90°，
∴∠DOA=∠BOE=90°-∠AOE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=180°-∠ABC=90°，
∴∠DAO=90°-45°=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
在△DAO和△EBO中

∠DAO=∠EBO AO=OB ∠DOA=∠BOE

∴△DAO≌△EBO（ASA），
∴OD=OE，AD=BE，
∵AB=1，AE=

3

4

，
∴AD=BE=1-

3

4

=

1

4

，
在Rt△DAE和Rt△DOE中，由勾股定理得：DE²=DO²+OE²=AD²+AE²，
∴2DO²=（

1

4

）²+（

3

4

）²，
DO=

5

4

，
故答案為：

5

4

．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OD=OE，AD=BE，題目比較好，難度適中．