Question

如圖，AC、BD為⊙O的兩條弦，AC，BD相交于點P．
（1）若AC=BD，證明：①

AB

=

CD

，②BP=CP；
（2）連接OP，若OP平分∠BPC，證明：CP=BP．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）連接BC，如圖1，①根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由AC=BD得到

AC

=

BD

，然后利用等量減等量差相等即可得到

AB

=

CD

；②根據(jù)圓周角定理由

AB

=

CD

得到∠C=∠B，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理可得BP=CP；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如圖2，根據(jù)角平分線定理得OM=ON，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AC=BD，再與（1）一樣可得BP=CP．

解答：證明：（1）連接BC，如圖1，
①∵AC=BD，
∴

AC

=

BD

，
∴

AC

-

AD

=

BD

-

AD

，
∴

AB

=

CD

；
②∵

AB

=

CD

，
∴∠C=∠B，
∴BP=CP；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如圖2，
∵OP平分∠BPC，
∴OM=ON，
∴AC=BD，
由（1）得BP=CP．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了圓周角定理．