Question

（2004•廣州）如圖，直線y=（x+1）分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，等邊△ABC的頂點(diǎn)C在第二象限．
（1）在所給圖中，按尺規(guī)作圖要求，求作等邊△ABC（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，求k、b的值；
（3）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、OB的長(zhǎng)為半徑的圓交線段CA于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：BD⊥CE．

Answer 1

【答案】分析：（1）在所給圖中，按尺規(guī)作圖要求，求作等邊△ABC，三角形的頂點(diǎn)C，應(yīng)該在線段AB的垂直平分線上，并且到A得距離是AB的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式，得到k，b的值；
（3）只要證明BE是圓的直徑就可以．
解答：（1）解：圖如右，

（2）解：在直線y=（x+1）中令x=0，y=0分別解得y=，x=-1，
因而A，B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（0，），
則tan∠BAO=，
∴∠BAO=60°，△ABC是等邊三角形，
∴過點(diǎn)C作CD⊥x軸與D，則∠CAD=60°，CD=，AD=1，因而C的坐標(biāo)（-2，）
根據(jù)題意得到，解得；

（3）證明：直線AC的解析式是y=-x-，
在這個(gè)函數(shù)中令x=0，解得y=-，
則OB=OE，即BE是圓的直徑，因而BD⊥CE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及圓周角的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角．