【題目】如圖,拋物線y=ax2+2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)AB=4,與y軸交于點(diǎn)C,OC=OA,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)M(m,0)為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N,可得矩形PQNM,如圖1,點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PQNM的周長最大時(shí),求m的值,并求出此時(shí)的△AEM的面積;

(3)已知H(0,﹣1),點(diǎn)G在拋物線上,連HG,直線HG⊥CF,垂足為F,若BF=BC,求點(diǎn)G的坐標(biāo).

【答案】1y=x22x+3; 2m=2,

3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(, )或( ).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2+2ax+c,可得C0,c),對(duì)稱軸為x﹣1,再根據(jù)OC=OA,AB=4,可得A﹣3,0),最后代入拋物線y=ax2+2ax+3,得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;

2)根據(jù)點(diǎn)Mm,0),可得矩形PQNM中,Pm,﹣m2﹣2m+3),Q﹣2﹣m,﹣m2﹣2m+3),再根據(jù)矩形PQNM的周長=2PM+PQ=﹣2m+22+10,可得當(dāng)m=﹣2時(shí),矩形PQNM的周長有最大值10,M的坐標(biāo)為(﹣20),最后由直線ACy=x+3,AM=1,求得E﹣2,1),ME=1,據(jù)此求得AEM的面積;

3)連接CB并延長,交直線HGQ,根據(jù)已知條件證明BC=BF=BQ,再根據(jù)C0,3),B1,0),得出Q2,3),根據(jù)H0,1),求得QH的解析式為y=x1,最后解方程組,可得點(diǎn)G的坐標(biāo).

試題解析:1)由拋物線y=ax2+2ax+c,可得C0,c),對(duì)稱軸為x==1,

OC=OA,

A﹣c,0),B﹣2+c,0),

AB=4

﹣2+c﹣﹣c=4,

c=3,

A﹣3,0),

代入拋物線y=ax2+2ax+3,得

0=9a﹣6a+3,

解得a=﹣1,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

2)如圖1,

Mm0),PMx軸,

Pm﹣m2﹣2m+3),

又∵對(duì)稱軸為x=﹣1PQAB,

Q﹣2﹣m﹣m2﹣2m+3),

又∵QNx軸,

∴矩形PQNM的周長

=2PM+PQ

=2[﹣m2﹣2m+3+﹣2﹣m﹣m]

=2﹣m2﹣4m+1

=﹣2m+22+10,

∴當(dāng)m=﹣2時(shí),矩形PQNM的周長有最大值10

此時(shí),M﹣2,0),

A﹣3,0),C0,3),可得

直線ACy=x+3,AM=1

∴當(dāng)x=﹣2時(shí),y=1,即E﹣21),ME=1,

∴△AEM的面積=×AM×ME=×1×1=;

3)如圖2,連接CB并延長,交直線HGQ

HGCF,BC=BF

∴∠BFC+BFQ=BCF+Q=90°,BFC=BCF

∴∠BFQ=Q,

BC=BF=BQ,

又∵C03),B1,0),

Q2﹣3),

又∵H0,﹣1),

QH的解析式為y=﹣x﹣1,

解方程組,可得,

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(, )或(, ).

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1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過1秒后,BPDCQP是否全等,請(qǐng)說明理由.

2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使BPDCQP全等?

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