Question

4．如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延長線與AD的延長線交于點E．
（1）若∠A=60°，求BC的長；
（2）若sinA=$\frac{4}{5}$，求AD的長．
（注意：本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號）

Answer 1

分析 （1）要求BC的長，只要求出BE和CE的長即可，由題意可以得到BE和CE的長，本題得以解決；
（2）要求AD的長，只要求出AE和DE的長即可，根據(jù)題意可以得到AE、DE的長，本題得以解決．

解答 解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=$\frac{BE}{AB}$，
∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6$\sqrt{3}$，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=$\frac{CD}{CE}$，∠E=30°，
∴CE=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴BC=BE-CE=6$\sqrt{3}$-8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=$\frac{4}{5}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴設(shè)BE=4x，則AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{DE}$，
解得，DE=$\frac{16}{3}$，
∴AD=AE-DE=10-$\frac{16}{3}$=$\frac{14}{3}$，
即AD的長是$\frac{14}{3}$．

點評 本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)進行解答．