Question

19．如圖，已知直線y=x+k和雙曲線y=$\frac{k+1}{x}$（k為正整數(shù)）交于A、B兩點，當k=2時；
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式組成方程組，解方程組求得兩函數(shù)的交點A、B的坐標；
（2）先根據(jù)直線解析式求得直線與y軸的交點C坐標，得到OC的長，再根據(jù)△AOB的面積等于△AOC的面積與△BOC的面積的和，進行計算即可．

解答 解：（1）當k=2時，直線解析式為y=x+2，雙曲線解析式為$y=\frac{3}{x}$
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$
即A（1，3），B（-3，-1）
（2）設直線與y軸交點為C，
在y=x+2中，當x=0時，y=2
∴C（0，2），即OC=2
∴△AOB的面積
=△AOC的面積+△BOC的面積
=$\frac{1}{2}$×CO×|x_B|+$\frac{1}{2}$×CO×|x_A|
=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1
=3+1
=4

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解決問題的關鍵是掌握通過解方程組求兩個函數(shù)圖象交點坐標．當有兩個函數(shù)的時候，著重使用函數(shù)圖象的交點坐標以及直線與坐標軸的交點坐標，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，綜合性較強．在計算△AOB的面積時，也可以將x軸作為分割線，或者將兩坐標軸同時作為分割線．