Question

如圖，第一象限內半徑為2的⊙C與y軸相切于點A，作直徑AD，過點D作⊙C的切線l交x軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的解析式為：y=kx+3．設⊙C與PA交于點M，與AB交于點N，則S△AMN=

32

25

時，k=

2±

6

或-2

．

Answer 1

分析：首先連接DN．由直徑所對的圓周角是直角，可得∠AND=90°，易證得△AMN∽△ABP；又由OA與PB都是⊙C的切線，易證得四邊形OADB是矩形，把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3，然后由勾股定理求得AB=5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面積比．然后分兩種情況進行討論：①當點P在B點上方時，由相似三角形的面積比得到k²-4k-2=0，解關于k的一元二次方程；②當點P在B點下方時，由相似三角形的面積比得到k²+1=-（4k+3），解關于k的一元二次方程．

解答：解：連接DN．
∵AD是⊙C的直徑，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
又∵∠ADN=∠AMN，
∴∠ABD=∠AMN，
∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP，
∵OA與PB都是⊙C的切線，
∴AD⊥OA，AD⊥PB，
∵∠AOB=90°，
∴四邊形OADB是矩形，
∴OB=AD=4，OA=BD，
把x=0代入y=kx+3得：y=3，即OA=BD=3，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=5，
∵S_△ABD=

1

2

AB•DN=

1

2

AD•BD，
∴DN=

AD•BD

AB

=

12

5

，
∴AN²=AD²-DN²=4²-（

12

5

）²=

256

25

，
∴

S△AMN

S△ABP

=(

AN

AP

)2，
∴S_△AMN=（

AN

AP

）²•S_△ABP=

AN2•S△ABP

AP2

，
∵點P的橫坐標為4，且直線PA的解析式為：y=kx+3，
∴點P的縱坐標為：4k+3，
當點P在B點上方時，
∵AP²=AD²+PD²=AD²+（PB-BD）²=4²+（4k+3-3）²=16（k²+1），
或AP²=AD²+PD²=AD²+（BD-PB）²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），
∴S_△ABP=

1

2

PB•AD=

1

2

（4k+3）×4=2（4k+3），
∴S△AMN=

AN2•S△ABP

AP2

=

256×2(4k+3)

25×16(k2+1)

=

32(4k+3)

25(k2+1)

=

32

25

，
整理得：k²-4k-2=0，
解得：k₁=2+

6

，k₂=2-

6

；
當點P在B點下方時，
∵AP²=AD²+PD²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），S_△ABP=

1

2

PB•AD=

1

2

[-（4k+3）]×4=-2（4k+3），
S△AMN=

AN2•S△ABP

AP2

=

-256×2(4k+3)

25×16(k2+1)

=

32

25

，
化簡得：k²+1=-（4k+3），
解得：k=-2，
綜上可得：當S△AMN=

32

25

時，k=2±

6

或k=-2．
故答案為：2±

6

或-2．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．