Question

如圖，第一象限內(nèi)半徑為4的⊙C與y軸相切于點(diǎn)A，作直徑AD，過(guò)點(diǎn)D作⊙C的切線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)B，P為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，已知直線(xiàn)PA的解析式為：y=kx+6．
（1）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為p，寫(xiě)出p隨k變化的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)⊙C與PA交于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)N，則不論動(dòng)點(diǎn)P處于直線(xiàn)l上（除點(diǎn)B以外）的什么位置時(shí)，都有△AMN∽△ABP．請(qǐng)你對(duì)于點(diǎn)P處于圖中位置時(shí)的兩三角形相似給予證明；
（3）是否存在△AMN的面積等于

128

25

？若存在，請(qǐng)求出符合的k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由切線(xiàn)的性質(zhì)知∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，所以可以判定四邊形OADB是矩形；根據(jù)⊙O的半徑是4求得直徑AD=8，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入直線(xiàn)方程y=kx+6即可知p變化的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接DN．∵直徑所對(duì)的圓周角是直角，∴∠AND=90°，∴根據(jù)圖示易證∠AND=∠ABD；然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等推知∠ADN=∠AMN，再由等量代換可知∠ABD=∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理證明△AMN∽△ABP；
（3）存在．把x=0代入y=kx+6得y=6，即OA=BD=6，然后由勾股定理求得AB=10；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面積比．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時(shí)，由相似三角形的面積比得到k²-4k-2=0，解關(guān)于k的一元二次方程；②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，由相似三角形的面積比得到k²+4k+4=0，解關(guān)于k的一元二次方程．

解答：解：（1）∵y軸和直線(xiàn)l都是⊙C的切線(xiàn)，
∴OA⊥AD，BD⊥AD；
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，
∴四邊形OADB是矩形；
∵⊙C的半徑為4，
∴AD=OB=8；
∵點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，p）；
又∵點(diǎn)P也在直線(xiàn)AP上，
∴p=8k+6；

（2）連接DN．
∵AD是⊙C的直徑，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
又∵∠ADN=∠AMN，
∴∠ABD=∠AMN，
∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP；

（3）存在．
理由：把x=0代入y=kx+6得：y=6，即OA=BD=6，
AB=

AD2+BD2

=

82+62

=10，
∵S_△ABD=

1

2

AB•DN=

1

2

AD•DB
∴DN=

AD×BD

AB

=

8×6

10

=

24

5

，
∴AN²=AD²-DN²=8²-（

24

5

）²=

1024

25

，
∵△AMN∽△ABP，
∴

S△AMN

S△ABP

=（

AN

AP

）²，即S△AMN=（

AN

AP

）²•S△ABP=

AN2S△ABP

AP2

，
當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時(shí)，
∵AP²=AD²+PD²=AD²+（PB-BD）²=8²+（8k+6-6）²=64（k²+1），
或AP²=AD²+PD²=AD²+（BD-PB）²=8²+（6-8k-6）²=64（k²+1），
S_△ABP=

1

2

PB•AD=

1

2

（8k+6）×8=8（4k+3），
∴S△AMN=

AN2S△ABP

AP2

=

1024×8(4k+3)

25×64(k2+1)

=

128(4k+3)

25(k2+1)

=

128

25

，
整理得：k²-4k-2=0，
解得k₁=2+

6

，k₂=2-

6

，
當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，
∵AP²=AD²+PD²=8²+（6-8k-6）²=64（k²+1），
S_△ABP=

1

2

PB•AD=

1

2

[-（8k+6）]×8=-8（4k+3），
∴S△AMN=

AN2S△ABP

AP2

=-

1024×8(4k+3)

25×64(k2+1)

=

128

25

化簡(jiǎn)得：k²+4k+4=0，
解得：k₁=k₂=-2，
綜合以上所得，當(dāng)k=2±

6

或k=-2時(shí)，△AMN的面積等于

128

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)求解．