Question

如圖，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．
（1）判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由．
（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周長．

Answer 1

解：（1）四邊形BEDF是菱形．
在△DOF和△BOE中，
∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，
所以△DOF≌△BOE，
所以OE=OF．
又因為EF⊥BD，OD=OB，
所以四邊形BEDF為菱形．

（2）如圖，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，
則DO=10，EO=7.5．
由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．
S_菱形EBFD=EF•BD=BE•AD，
即
所以得AD=12．
根據勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．
由2（AB+AD）=2（16+12）=56，
故矩形ABCD的周長為56．
分析：（1）EF垂直平分BD，則OB=OD．根據AB∥CD可證△DOF≌△BOE，得OE=OF．所以BD、EF互相垂直平分，四邊形BEDF是菱形．
（2）利用菱形面積的兩種表示方法求AD的長；利用勾股定理求AE的長．根據周長公式計算求解．
點評：此題考查了菱形的判定方法以及利用菱形面積的兩種表示方法計算線段的長度，綜合性較強．
菱形的判別方法有三：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．