Question

16．如圖四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點．
（1）求證：AC²=AB•AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若 AD=8，AB=12，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠DAB，得到一對角相等，再由一對直角相等，得到三角形ADC與三角形ACB相似，由相似得比例即可得證；
（2）由E為AB中點，三角形ABC為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AE=CE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得證；
（3）由CE與AD平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，進而得到三角形ECF與三角形ADF相似，由相似得比例求出AF的長，即可確定出所求式子的值．

解答 （1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
則AC²=AB•AD；
（2）證明：∵CE為Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CE=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠ACE=∠DAC，
∴CE∥AD；
（3）解：∵AC²=AB•AD，AB=12，AD=8，
∴AC=4$\sqrt{6}$，CE=6，
∵CE∥AD，
∴∠ECF=∠FAD，∠CEF=∠FDA，
∴△ECF∽△DAF，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{AC-CF}$，即$\frac{6}{8}$=$\frac{CF}{4\sqrt{6}-CF}$，
解得：CF=$\frac{12\sqrt{6}}{7}$，
∴AF=AC-CF=4$\sqrt{6}$-$\frac{12\sqrt{6}}{7}$=$\frac{16\sqrt{6}}{7}$，
則$\frac{AC}{AF}$=$\frac{4\sqrt{6}}{\frac{16\sqrt{6}}{7}}$=$\frac{7}{4}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的中線性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．