Question

如圖，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是直角三角形？
（2）是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）把△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形能不能是菱形？若能，求出此時(shí)菱形的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°兩種情況，利用∠A的余弦列式計(jì)算即可得解；
（2）先求出△ABC的面積，然后利用∠A的正弦求出點(diǎn)P到AQ的距離，再根據(jù)△APQ的面積公式列出方程，然后求出根的判別式△＜0，確定不存在；
（3）根據(jù)菱形的對(duì)角相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得關(guān)于AB翻折時(shí)，∠A=∠APQ，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD=

1

2

AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根據(jù)正弦求出DQ，然后根據(jù)S_菱形=2S_△APQ計(jì)算即可得解；關(guān)于AC翻折時(shí)，∠A=∠AQP，過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=

1

2

AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根據(jù)正弦求出PE，然后根據(jù)S_菱形=2S_△APQ計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s，
∴AP=10-2t，AQ=t，
如圖1，∠AQP=90°時(shí)，cos∠A=

AQ

AP

=

AC

AB

，
∴

t

10-2t

=

8

10

，
解得t=

40

13

，
如圖2，∠APQ=90°時(shí)，cos∠A=

AP

AQ

=

AC

AB

，
∴

10-2t

t

=

8

10

，
解得t=

25

7

，
綜上所述，t=

40

13

或

25

7

時(shí)，△APQ是直角三角形；

（2）△ABC的面積=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24cm²，
假設(shè)存在t使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則點(diǎn)P到AQ的距離為：AP•sin∠A=（10-2t）×

6

10

=

3

5

（10-2t），
∴△APQ的面積=

1

2

t•

3

5

（10-2t）=

1

2

×24，
整理得，t²-5t+20=0，
∵△=（-5）²-4×1×20=25-80=-55＜0，
∴此方程無解，
∴不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，若關(guān)于AB翻折時(shí)，則∠A=∠APQ，
如圖1，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于D，則AD=

1

2

AP=

1

2

（10-2t）=5-t，
cos∠A=

AD

AQ

=

AC

AB

，
∴

5-t

t

=

8

10

，
解得t=

25

9

，
∴DQ=AQ•sin∠A=

25

9

×

6

10

=

5

3

，
AP=10-2t=10-2×

25

9

=

40

9

，
∴S_菱形=2S_△APQ=2×

1

2

×

40

9

×

5

3

=

200

27

；
若關(guān)于AC翻折時(shí)，則∠A=∠AQP，
如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，則AE=

1

2

AQ=

t

2

，
cos∠A=

AE

AP

=

AC

AB

，
∴

t 2

10-2t

=

8

10

，
解得t=

80

21

，
∴PE=AP•sin∠A=（10-2×

80

21

）×

6

10

=

50

21

×

6

10

=

10

7

，
∴S_菱形=2S_△APQ=2×

1

2

×

80

21

×

10

7

=

800

147

；
綜上所述，△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形能是菱形，
菱形的面積為

200

27

或

800

147

．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題型，主要考查了銳角三角函數(shù)，三角形的面積，菱形的對(duì)角相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，（1）（3）兩題難點(diǎn)在于要分情況討論求解，（2）利用根的判別式判斷即可，綜合題，但難度不大．