Question

12．在學習完一次函數的圖象及其性質后，我們可以利用圖象上“數對”的一些特殊情況，來重新看待和它相關的一元一次方程、二元一次方程組的解，一元一次不等式（不等式組）的解集問題，下面是有關的描述：
圖1是一次函數y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象，由于當x=-2時，y=0，所以我們可以知道二元一次方程y=$\frac{1}{2}$x+1一組解是$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}$；也可以得到一元一次方程$\frac{1}{2}$x+1=0的解是，x=-2；同時還可以得到不等式$\frac{1}{2}$x+1＜0的解集是x＜-2．
請嘗試用以上的內在聯系通過觀察圖象解決如下問題：
（1）觀察圖1請直接寫出0＜$\frac{1}{2}$x+1＜1時，x的取值范圍-2＜x＜0；
（2）請通過觀察圖2直接寫出$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2的解集x＞0.4；
（3）圖3給出了y₁=$\frac{1}{2}$x+1以及y₃=-x²+2x+1的圖象，請直接寫出-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0的解集x＜0或x＞1.5．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知當y=0和y=1時對應的x的值，結合圖象可求得x的取值范圍；
（2）不等式的解集即函數y=$\frac{1}{2}$x+1圖象在函數y=-2x+2上方時對應的x的取值范圍，結合A點坐標可求得答案；
（3）把不等式可轉化為y₃＜y₁，即直線在二次函數圖象的上方時所對應的x的取值，結合兩函數圖象的交點坐標可求得答案．

解答 解：
（1）由圖象可知當y=0時，x=-2，當y=1時，x=0，
∴當0＜$\frac{1}{2}$x+1＜1時，對應的x的取值范圍為：-2＜x＜0，
故答案為：-2＜x＜0；
（2）由圖象可知，y₁、y₂的圖象交于A點，
∵$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2，
∴y₁＞y₂，
即y₁的圖象在y₂圖象上方時對應的x的取值范圍，
結合圖象可知在A點右側時滿足條件，
∵A（0.4，1.2），
∴不等式$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2的解集為x＞0.4，
故答案為：x＞0.4；
（3）∵-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0
∴-x²+2x+1＜$\frac{1}{2}$x+1，
即y₃的圖象在y₁的圖象的下方，
∴對應的x的取值范圍為x＜0或x＞1.5，
即不等式-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0的解集為x＜0或x＞1.5，
故答案為：x＜0或x＞1.5．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及知識點有函數、方程、不等式的關系及轉化、數形結合思想的應用．充分利用數形結合思想，把不等式轉化為對應函數圖象的關系是解題的關鍵．本題考查知識點不多，但是需要注意對圖形充分觀察，難度適中．