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【題目】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形.

1)如圖1,在四邊形ABCD中,ABAD,CBCD,問四邊形ABCD是垂直四邊形嗎?請說明理由;

2)如圖2,四邊形ABCD是垂直四邊形,求證:AD2+BC2AB2+CD2

3)如圖3,RtABC中,∠ACB90°,分別以AC、AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BGGE,已知AC4BC3,求GE長.

【答案】1)四邊形ABCD是垂直四邊形;理由見解析;(2)見解析;(3GE

【解析】

1)由ABAD,得出點A在線段BD的垂直平分線上,由CBCD,得出點C在線段BD的垂直平分線上,則直線AC是線段BD的垂直平分線,即可得出結果;

2)設AC、BD交于點E,由ACBD,得出∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED90°,由勾股定理得AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2AE2+BE2+DE2+CE2,即可得出結論;

3)連接CG、BE,由正方形的性質得出AGACABAE,,,∠CAG=∠BAE90°,易求∠GAB=∠CAE,由SAS證得GAB≌△CAE,得出∠ABG=∠AEC,推出∠ABG+CEB+ABE90°,即CEBG,得出四邊形CGEB是垂直四邊形,由(2)得,CG2+BE2BC2+GE2,,代入計算即可得出結果.

1)解:四邊形ABCD是垂直四邊形;理由如下:

ABAD,

∴點A在線段BD的垂直平分線上,

CBCD,

∴點C在線段BD的垂直平分線上,

∴直線AC是線段BD的垂直平分線,

ACBD,即四邊形ABCD是垂直四邊形;

2)證明:設AC、BD交于點E,如圖2所示:

ACBD,

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED90°,

由勾股定理得:AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2AE2+BE2+DE2+CE2,

AD2+BC2AB2+CD2;

3)解:連接CGBE,如圖3所示:

∵正方形ACFG和正方形ABDE

AGAC,ABAE,,,∠CAG=∠BAE90°,

∴∠CAG+BAC=∠BAE+BAC,即∠GAB=∠CAE,

GABCAE中,,

∴△GAB≌△CAESAS),

∴∠ABG=∠AEC,

又∵∠AEC+CEB+ABE90°

∴∠ABG+CEB+ABE90°,即CEBG

∴四邊形CGEB是垂直四邊形,由(2)得,CG2+BE2BC2+GE2

AC4,BC3,

,

GE

練習冊系列答案
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