Question

如圖，⊙O的半徑為6cm，射線PM與⊙O相切于點(diǎn)C，且PC=16cm．
（1）請(qǐng)你作出圖中線段PC的垂直平分線EF，垂足為Q，并求出QO的長(zhǎng)；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上畫出射線QO，分別交⊙O于點(diǎn)A、B，將直線EF沿射線QM方向以5cm/s 的速度平移（平移過程中直線EF始終保持與PM垂直），設(shè)平移時(shí)間為t．當(dāng)t為何值時(shí)，直線EF與⊙O相切？
（3）直接寫出t為何值時(shí)，直線EF與⊙O無公共點(diǎn)？t為何值時(shí)，直線EF與⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）連接圓心和切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得QO的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)直線EF與⊙O相切時(shí)，連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造等邊三角形求得直線EF運(yùn)動(dòng)的距離，除以速度即得到時(shí)間，本題應(yīng)分內(nèi)切和外切兩種情況討論；
（3）根據(jù)直線與圓相交和相離確定時(shí)間的取值范圍．

解答：解：
（1）如圖，連接OC，
∵PC切⊙O與點(diǎn)C，
∴OC⊥PC，
∵EF垂直平分PC，PC=16cm
∴QC=8cm，
∴QO=

QC2+OC2

=10厘米；

（2）當(dāng)直線EF與⊙O相切于點(diǎn)D、交直線PM于點(diǎn)N時(shí)，連接OD．
∴四邊形ODNC是正方形，
∴CN=OD=6，
∴QN=QC+CN=6+8=14或QN=QC-CN=8-6=2，
∵直線EF沿射線QM方向以5cm/s 的速度平移，
∴t=

2

5

s或

14

5

s；

（3）當(dāng)0＜t＜

2

5

或t＞

14

5

時(shí)，直線EF與⊙O無公共點(diǎn)，
當(dāng)

2

5

＜t＜

14

5

時(shí)，直線EF與⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定及性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題，解決動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵是化動(dòng)為靜．