Question

如圖①，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點C，AD⊥EF，垂足為D．
（1）求證：∠DAC=∠BAC；
（2）若把直線EF向上平行移動，如圖②，EF交⊙O于G、C兩點，若題中的其它條件不變，這時與∠DAC相等的角是哪一個？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及等角的余角相等即可證明；
（2）構(gòu)造直徑所對的圓周角，根據(jù)等弧所對的圓周角相等以及等角的余角相等，發(fā)現(xiàn)∠BAC=∠GAD，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明∠BAG=∠DAC．
解答：（1）證明：連接OC；
∵EF切⊙O于點C，
∴OC⊥EF，
∴∠1+∠4=90°；
∵AD⊥EF，
∴∠3+∠4=90°；
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
即∠DAC=∠BAC．

（2）解：∠BAG=∠DAC，理由如下：
連接BC；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，∠B+∠BAC=90°，
∵∠AGD+∠GAD=90°，
又∵∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD；
即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC，
∴∠BAG=∠DAC．
點評：此題運用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論．注意根據(jù)等角的余角相等是證明角相等的一種常用方法．