Question

【題目】如圖,正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上， ΔAEF是等邊三角形，連接AC交EF于點G，下列結論:①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE＋DF＝EF,⑤S△CEF＝2S△ABE，其中結論正確的個數為( )

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：本題是四邊形的綜合題，利用三角形的知識解決即可.

解析：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴①說法正確；∵BC=DC，∴BC-BE=CD-DF，∴CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CFE=45°∴∠AFD=75°∴∠DAF=15°∴②正確；∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BCA=45°∴AC⊥EF又CE=CF∴AC垂直平分EF，∴③正確；在AD上取一點G，連接FG，使AG=GF，則∠DAF=∠GFA=15°，∴∠DGF=2∠DAF=30°，
設DF=1，則AG=GF=2，DG=，∴AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，∴EF=CF=+，而BE+DF=2，∴④說法錯誤；

∵S△ABE+SADF=2S△ABE=2×AD×DF=2+，

S△CEF=CE×CF=，∴⑤正確

故選B.

定睛：本題考察的知識點為正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質．利用知識點逐個進行證明.