Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），同時(shí)交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）將△OBC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，試判斷點(diǎn)B′是否在該拋物線上？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，且以A，B，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)A，B點(diǎn)即可求得b、c的值，即可解題；
（2）作出圖形，作B'E⊥x軸，易證∠OBC=∠ECB'，即可證明△BOC≌△CEB'，可得CE=OB，EB'=OC，即可解題；
（3）以A，B，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為4或-4，將x=4或-4代入拋物線解析式即可求得y的值，即可解題．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A，B是拋物線y=

1

2

x²+bx+c上點(diǎn)，
∴

1 2 -b+c=0 1 2 ×9+3b+c=0

，
解得：b=-1，c=-

3

2

，
∴拋物線解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

上點(diǎn)；
（2）作出圖形，


易得△BOC≌△B′EC
∴CE=OC=

3

2

，EB′=OB=3，
∴點(diǎn)B′坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

2

）；
將x=-

3

2

代入拋物線解析式y(tǒng)=

1

2

x²-x-

3

2

，得y=

9

8

≠

3

2

，故不在該拋物線上
（3）以A，B，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為4或-4，如圖2，

∴當(dāng)x=4時(shí)，代入y=

1

2

x²-x-

3

2

得y=

5

2

，
當(dāng)x=-4時(shí)，代入y=

1

2

x²-x-

3

2

得y=

21

2

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，

5

2

），（-4，

21

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了全等三角形的判定和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中正確求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．