Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是邊AB上的中線，直線BM∥AC，E是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ED交直線BM于點(diǎn)F，將△EDC沿CD翻折得△E′DC，射線DE′交直線BM于點(diǎn)G．
（1）如圖1，當(dāng)CD⊥EF時(shí)，求BF的值；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)；
①求證：△BDF∽△BGD；
②設(shè)AE=x，△DFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）如果△DFG的面積為，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ACB=90°，AD=BD，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC為等邊三角形，由AC的長(zhǎng)求出AD與BD的長(zhǎng)，同時(shí)求出∠ABC=30°，由BM與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD垂直于EF，得到∠CDE和∠CDF都為直角，在直角三角形EDC中，求出∠DEC為30°，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出∠BFD也為30°，而由∠CDE-∠CDA求出∠EDA為30°，利用對(duì)頂角相等得到∠BDF為30°，即∠BFD=∠BDF，利用等角對(duì)等邊可得出BD=BF，由BD的長(zhǎng)即可求出BF的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，如圖2所示，①由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得到CE′∥AB，再由兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換得到∠BDG=∠BFD，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD得比例，將各自的值代入即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出x的范圍即可；
（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，在y與x的關(guān)系式中，令y=6列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長(zhǎng)；（ii）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖3所示，列出此時(shí)y與x的關(guān)系式，令y=6列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿足題意的AE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，
∵AC=4，
∴AD=BD=AC=4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC=∠ACB=90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4；

（2）①證明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，
∴∠ADC=∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D=∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED=∠BFD，
又∵∠CE′D=∠CED，
∴∠BDG=∠BFD，
∵∠DBF=∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
②由△BDF∽△BGD，得=，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=AD，
又∵BM∥AC，
∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，
在△BFD和△AED中，
∵，
∴△BFD≌△AED（AAS），
∴BF=AE=x，
∴=，
∴BG=，
在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，
根據(jù)勾股定理得：BC==4，
∵點(diǎn)D到直線BM的距離d=BC=2，
∴S_△DFG=FG•d=（BG-BF）•d，即y=×（-x）×2=-x（0＜x＜4）；

（3）（i）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，
由題意，得6=-x，
整理，得x²+6x-16=0，
解得x₁=2，x₂=-8（不合題意，舍去）；
（ii）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖3所示：

同理得到S_△DFG=FG•d=（BF-BG）•d，即y=x-（x＞4），
由題意，得6=x-，
整理，得x²-6x-16=0，
解得x₃=8，x₄=-2（不合題意，舍去），
綜上所述，AE的值為2或8．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．