Question

勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉．生活中到處可見黃金分割的美．如圖，線段AB=1，點P₁是線段AB的黃金分割點（AP₁＜BP₁），點P₂是線段AP₁的黃金分割點（AP₂＜P₁P₂），點P₃是線段AP₂的黃金分割點（AP₃＜P₂P₃），…，依此類推，則AP_n的長度是

 

．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)黃金分割的定義得到BP₁=

5 -1

2

AB=

5 -1

2

，則AP₁=1-

5 -1

2

=

3- 5

2

，同理得到AP₂=

3- 5

2

×

3- 5

2

=（

3- 5

2

）²，AP₃=（

3- 5

2

）³，根據(jù)此規(guī)律得到AP_n=（

3- 5

2

）ⁿ．

解答：解：∵線段AB=1，點P₁是線段AB的黃金分割點（AP₁＜BP₁），
∴BP₁=

5 -1

2

AB=

5 -1

2

，
∴AP₁=1-

5 -1

2

=

3- 5

2

，
∵點P₂是線段AP₁的黃金分割點（AP₂＜P₁P₂），
∴AP₂=

3- 5

2

×

3- 5

2

=（

3- 5

2

）²，
∴AP₃=（

3- 5

2

）³，
∴AP_n=（

3- 5

2

）ⁿ．
故答案為（

3- 5

2

）ⁿ．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點；其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．