Question

關(guān)于x的方程x²-（k-2）x+6=0．
（1）若該方程有一根，求方程的另一根及k的值；
（2）是否存在實數(shù)k，使該方程的兩個根的平方和等于4？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（友情提示：如果x₁，x₂的兩根，那么有x₁+x₂=-，x₁x₂=．）

Answer 1

解：（1）設(shè)方程的另一根為α，
∵該方程有一根3+，
∴（3+）α=6，
解得：α=3-，
∴k-2=（3+）（3-）=6，
解得：k=8；
∴方程的另一根為：3-，k的值為6；

（2）存在．
設(shè)x₁，x₂是x²-（k-2）x+6=0方程的兩個實數(shù)根，
則x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=6，
∵方程的兩個根的平方和等于4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k-2）²-2×6=4，
解得：k=6或k=-2．
分析：（1）首先設(shè)方程的另一根為α，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得α的值，繼而求得k的值；
（2）首先設(shè)x₁，x₂是x²-（k-2）x+6=0方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可得x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=6，又由方程的兩個根的平方和等于4，即可得方程（k-2）²-2×6=4，繼而求得k的值．
點評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．此題難度適中，注意掌握如果x₁，x₂的兩根，那么有x₁+x₂=-，x₁x₂=是解此題的關(guān)鍵．