【題目】如圖,點(diǎn)將線段分成兩部分,如果,那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn).
某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí),類似地給出“黃金分割線”的定義:直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為,,如果,那么稱直線為該圖形的黃金分割線.(如圖)
問題.試在圖的梯形中畫出至少五條黃金分割線,并說明理由.
類似“黃金分割線”得“黃金分割面”定義:截面將一個(gè)體積為的圖形分成體積為V1
、的兩個(gè)圖形,且,則稱直線為該圖形的黃金分割面.
問題:如圖,長方體中,是線段上的黃金分割點(diǎn),證明經(jīng)過點(diǎn)且平行于平面的截面是長方體的黃金分割面.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)如圖,先在梯形的中位線EF上找一個(gè)黃金分割點(diǎn)G,過點(diǎn)G作一條直線L交AD于點(diǎn)M,交BC于N,則MN就是梯形的黃金分割線.
(2)根據(jù)AT:AB=TB:AT,進(jìn)而推出S矩形QRST=S矩形BCGF因?yàn)?/span>AT×S矩形QRST:AB×S矩形BCGF=TB×S矩形ADHE:AT×S矩形QRST從而不難求得截面QRST是長方體的黃金分割面.
解:如圖,先在梯形的中位線上找一個(gè)黃金分割點(diǎn),過點(diǎn)作一條直線交于點(diǎn),交于,則就是梯形的黃金分割線.
∵,
∴,
∵,,(是梯形的高),
∴,
∵直線是過的任意一條與,都相交的直線,
∴符合題意的黃金分割線有無窮多條.
∵,
∴,
∵,
即截面將體積為的長方體,分成左右兩塊體積分別是,,
∴,
∴截面是長方體的黃金分割面.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知邊長為2的正六邊形ABCDEF在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B在原點(diǎn),把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續(xù)翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,經(jīng)過2018次翻轉(zhuǎn)之后,點(diǎn)B的坐標(biāo)是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,已知△OBC的周長為59厘米,且AD的長是28厘米,兩對角線的差為14厘米,那么較長的一條對角線長是______厘米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,P為BC上一點(diǎn),D為AC上一點(diǎn),且∠APD=60°,BP=1,CD=,則△ABC的邊長為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD沿對角線BD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,BE交AD于點(diǎn)F,已知∠BDC=62°,則∠DFE的度數(shù)為( 。
A. 31° B. 28° C. 62° D. 56°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的小正方形,A、B、C三點(diǎn)都是格點(diǎn)(每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)),其中A(1,8),B(3,8),C(4,7).
(1)若D(2,3),請?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫一個(gè)格點(diǎn)△DEF,使△DEF ∽△ABC,且相似比為2∶1;
(2)求∠D的正弦值;
(3)若△ABC外接圓的圓心為P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一項(xiàng)工程,甲,乙兩公司合做,12天可以完成,共需付施工費(fèi)102000元;如果甲,乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工費(fèi)比甲公司每天的施工費(fèi)少1500元.
(1)甲,乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,各需多少天?
(2)若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程,哪個(gè)公司的施工費(fèi)較少?
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