Question

【題目】已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上（點(diǎn)M、點(diǎn)N不與所在線段端點(diǎn)重合），BN=AM，連接AN，BM，射線AG∥BC，延長(zhǎng)BM交射線AG于點(diǎn)D，點(diǎn)E在直線AN上，且AE=DE．

（1）如圖，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)

①求證：△BCM≌△ACN；

②求∠BDE的度數(shù)；

（2）當(dāng)∠ACB=α，其它多件不變時(shí)，∠BDE的度數(shù)是　 　（用含α的代數(shù)式表示）

（3）若△ABC是等邊三角形，AB=3，點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，直線ED與直線BC交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②∠BDE=90°；（2）α或180°﹣α；（3）CF的長(zhǎng)為或4．

【解析】（1）①根據(jù)SAS證明即可；

②想辦法證明∠ADE+∠ADB=90°即可；

（2）分兩種情形討論求解即可，①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AN的延長(zhǎng)線上時(shí)，②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在NA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

（3）分兩種情形求解即可，①如圖4中，當(dāng)BN=BC=時(shí)，作AK⊥BC于K，解直角三角形即可．②如圖5中，當(dāng)CN=BC=時(shí)，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，結(jié)合圖形求解即可.

（1）①如圖1中，

∵CA=CB，BN=AM，

∴CB﹣BN=CA﹣AM，

即CN=CM，

∵∠ACN=∠BCM，

∴△BCM≌△CAN；

②如圖1中，

∵△BCM≌△ACN，

∴∠MBC=∠NAC，

∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠NAC，

∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，

∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，

∴∠BDE=90°；

（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AN的延長(zhǎng)線上時(shí)，

易證：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，

∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，

∴∠BDE=∠ACB=α；

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在NA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

易證：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，

∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，

∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，

∴∠BDE=180°﹣α，

綜上所述，∠BDE=α或180°﹣α，

故答案為：α或180°﹣α；

（3）如圖4中，當(dāng)BN=BC=時(shí)，作AK⊥BC于K，

∵AD∥BC，

∴，

∴AD=，AC=3，易證△ADC是直角三角形，則四邊形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，

∴CF=NK=BK﹣BN=﹣=；

如圖5中，當(dāng)CN=BC=時(shí)，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，

∴，

∴AD=6，易證△ACD是直角三角形，

由△ACK∽△CDH，可得CH=AK=，

由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=，

∴CF=CH﹣FH=4．

綜上所述，CF的長(zhǎng)為或4．